《离散数学》第二学期期末试卷A (精选03)

一、单项选择题（每小题 2 分，共 20 分）

下列哪个语句是真命题（）。
- A. 我正在说谎
- B. 如果 $$1 + 2 = 3$$ ，则雪是黑色的
- C. 如果 $$1 + 2 = 5$$ ，则雪是黑色的
- D. 上网了吗

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答案：C

解析：本题考查命题的定义及蕴涵式的真值判定。

分析选项 A：这是一个典型的“说谎者悖论”。如果它是真的，则它说的是假话；如果它是假的，则它说的是真话。无法确定唯一的真值，因此不是命题。
分析选项 B：形式为 $P \to Q$。
- $$P$$ : $$1 + 2 = 3$$ （真）
- $$Q$$ : 雪是黑色的（假）
- 根据蕴涵真值表， $1 \to 0$ 结果为假。
分析选项 C：形式为 $P \to Q$。
- $$P$$ : $$1 + 2 = 5$$ （假）
- $$Q$$ : 雪是黑色的（假）
- 根据蕴涵真值表，当前件为假时，无论后件真假，蕴涵式 $0 \to 0$ 结果均为真。
分析选项 D：这是一个疑问句，不具有陈述事实的属性，无法判定真假，不是命题。

综上所述，只有 C 是真命题。

难度: ⭐
考点: #命题逻辑 #蕴涵式真值 #悖论

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📖 相关公式与知识点:

蕴涵运算 $P \to Q$ ：仅在 $1 \to 0$ 时为假，其余（ $0 \to 0, 0 \to 1, 1 \to 1$ ）均为真。
“虚假的前件可以推出任何结论”：即 $F \to Q$ 恒为真。

思路分析

看到“如果...则...”结构的命题，先判定前件的真假。如果前件已经是假的，该命题自动为真。

🔄 举一反三

“如果太阳从西边出来，我就给你一万块”是真命题吗？
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答案：是。因为前件“太阳从西边出来”为假，故蕴涵式整体为真。

设 $L(x)$：$x$ 是演员，$J(x)$：$x$ 是教师，$A(x, y)$：$x$ 佩服 $y$。命题“所有演员都佩服某些教师”可符号化为（）。
- A. $\forall x L(x) \to A(x, y)$
- B. $\forall x (L(x) \to \exists y (J(y) \land A(x, y)))$
- C. $\forall x \exists y (L(x) \land J(y) \land A(x, y))$
- D. $\forall x \exists y (L(x) \land J(y) \to A(x, y))$

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答案：B

解析：本题考查谓词逻辑的符号化，重点在于量词的范围与联结词的搭配。

分析主干：原句是全称命题，“所有演员...”。因此最外层应使用全称量词 $\forall x$ ，且后面通常搭配蕴涵词 $\to$ 。
细化内部逻辑：
- “如果是演员（ $$L(x)$$ ），则...”
- “...佩服某些教师”。这意味着对于这个特定的演员 $$x$$ ，存在一个 $$y$$ 是教师且 $$x$$ 佩服 $$y$$ 。
- “某些教师”对应存在量词 $\exists y$ ，且教师身份与佩服关系是同时成立的，故用合取 $\land$ 。
组合公式： $\forall x (L(x) \to \exists y (J(y) \land A(x, y)))$ 。

难度: ⭐⭐
考点: #谓词逻辑 #符号化 #量词搭配

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📖 相关公式与知识点:

全称量词 $\forall$ 常搭配蕴涵 $\to$ ：表示对某类群体全覆盖。
存在量词 $\exists$ 常搭配合取 $\land$ ：表示存在一个个体同时具备两种属性。

易错点

选项 C 错误地使用了 $\land$ 搭配 $\forall$ 。这意味着“宇宙中所有物体都是演员且都是教师且互相信任”，显然语义错误。

🔄 举一反三

“有的演员佩服所有教师”符号化结果。
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答案： $\exists x (L(x) \land \forall y (J(y) \to A(x, y)))$

设 $A, B, C$ 为任意三个集合，下列命题正确的是（）。
- A. 若 $A \cup B = A \cup C$ ，则 $$B = C$$
- B. 若 $A \cap B = A \cap C$ ，则 $$B = C$$
- C. 若 $\sim A \cup B = E$ 且 $A \supseteq B$ ，则 $$A = B$$
- D. 若 $A - B = \emptyset$ ，则 $$A = B$$

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答案：C

解析：本题考查集合运算的基本性质及其反例。

分析选项 A：错误。反例： $A = \{1, 2\}, B = \{1\}, C = \{2\}$ 。 $A \cup B = A \cup C = \{1, 2\}$ ，但 $B \neq C$ 。并集不满足消去律。
分析选项 B：错误。反例： $A = \emptyset, B = \{1\}, C = \{2\}$ 。 $A \cap B = A \cap C = \emptyset$ ，但 $B \neq C$ 。交集不满足消去律。
分析选项 C：正确。
- $\bar{A} \cup B = E \iff \overline{A \cap \bar{B}} = E \iff A \cap \bar{B} = \emptyset \iff A \subseteq B$ 。
- 已知 $A \supseteq B$ 且推导得 $A \subseteq B$ ，故 $$A = B$$ 。
分析选项 D：错误。 $A - B = \emptyset \iff A \subseteq B$ 。不代表 $$A$$ 一定等于 $$B$$ （可能是真子集）。

难度: ⭐⭐
考点: #集合运算 #包含关系 #消去律反例

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📖 相关公式与知识点:

并集和交集都不满足常规消去律。
$A \subseteq B \iff A \cap B = A \iff A \cup B = B \iff A - B = \emptyset$ 。

思路分析

解决这类判断题，最有效的方法是画 文氏图 或寻找简单的反例。

🔄 举一反三

若 $A \cup B = A \cup C$ 且 $A \cap B = A \cap C$ ，则 $$B = C$$ 成立吗？
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答案：成立。这是集合运算中的一个重要引理。

设集合 $A = \{a, b\}$ 上的二元关系 $R = \{ \langle a, a \rangle, \langle b, b \rangle \}$ ，则 $R$（）。
- A. 是等价关系但不是偏序关系
- B. 是偏序关系但不是等价关系
- C. 既是等价关系又是偏序关系
- D. 既不是等价关系也不是偏序关系

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答案：C

解析：本题考查恒等关系的特殊性质。

定义性质判定：
- 自反性： $\langle a, a \rangle, \langle b, b \rangle \in R$ ，满足。
- 对称性：所有元素均为对角线元素，满足。
- 反对称性：若 $\langle x, y \rangle \in R \land \langle y, x \rangle \in R$ ，则 $$x = y$$ 。此处仅有 $$a=a$$ 和 $$b=b$$ 的情况，满足。
- 传递性：满足。
结论：
- 满足自反、对称、传递 $\implies$ 等价关系。
- 满足自反、反对称、传递 $\implies$ 偏序关系。因此，恒等关系 $$I_A$$ 既是等价关系又是偏序关系。

难度: ⭐
考点: #等价关系 #偏序关系 #恒等关系

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📖 相关公式与知识点:

恒等关系 $$I_A$$ 是唯一一个既是等价又是偏序的关系。
全序关系必然是偏序关系，但等价关系不一定是偏序（除非是对称性退化为反对称性）。

思路分析

记住特殊关系：全域关系 $A \times A$ 通常是等价关系，恒等关系 $$I_A$$ 则是两者的交集。

🔄 举一反三

集合 $A=\{1, 2\}$ 上的全域关系 $R=A \times A$ 是偏序关系吗？
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答案：不是。因为它不满足反对称性（包含 $\langle 1, 2 \rangle$ 和 $\langle 2, 1 \rangle$ 但 $1 \neq 2$ ）。

设集合 $A$ 和二元运算 $*$，具有可交换性质的代数系统是（）。
- A. 设 $A = P(\{x, y\}), \forall a, b \in A, a * b = a \cap b$
- B. 设 $A = \{1, -1, 2, 3, 4, -5\}, \forall a, b \in A, a * b = |b|$
- C. 设 $A = M_{n}(R)$ ，运算 $$*$$ 是矩阵的乘法
- D. 设 $A = \mathbb{Z}, \forall a, b \in A, a * b = a + 2b$

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答案：A

解析：本题考查二元运算的可交换性。定义： $\forall a, b \in A, a * b = b * a$ 。

分析 A：集合的交运算满足交换律， $a \cap b = b \cap a$ 。正确。
分析 B： $$a * b = |b|$$ ，而 $$b * a = |a|$$ 。例如 $$1 * 2 = 2, 2 * 1 = 1$$ 。不相等。
分析 C：矩阵乘法一般不满足交换律。
分析 D： $$1 * 2 = 1 + 2(2) = 5$$ ， $$2 * 1 = 2 + 2(1) = 4$$ 。不相等。

难度: ⭐
考点: #代数系统 #交换律 #二元运算

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📖 相关公式与知识点:

常见满足交换律的运算：加法、乘法（实数）、并、交、对称差。
常见不满足交换律的运算：减法、除法、矩阵乘法、函数复合、投影运算。

🔄 举一反三

设 $A = \mathbb{R}$ ， $$a * b = a - b$$ ，是否满足交换律？
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答案： 否 解析： $$1 - 2 = -1$$ ，而 $$2 - 1 = 1$$ ， $-1 \neq 1$ 。

设 $G$ 是 6 阶循环群，$a$ 是生成元。则下列集合能构成 $G$ 的子群的是（）。
- A. $\{e, a\}$
- B. $\{e, a^{2}\}$
- C. $\{e, a^{3}\}$
- D. $\{e, a^4\}$

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答案：C

解析：本题考查循环群子群的判定及拉格朗日定理。

拉格朗日定理判定：子群的阶数必须能整除大群的阶数。
- $$G$$ 的阶为 6。其子群的阶只能是 1, 2, 3, 6。
- 选项 A, B, C, D 给出的集合阶数均为 2。这四个选项在阶数上都满足初步条件。
封闭性判定：
- A 选项： $\{e, a\}$ 。 $a \cdot a = a^2 \notin \{e, a\}$ 。不满足封闭性。
- B 选项： $\{e, a^2\}$ 。 $a^2 \cdot a^2 = a^4 \notin \{e, a^2\}$ 。不满足封闭性。
- C 选项： $\{e, a^3\}$ 。 $a^3 \cdot a^3 = a^6 = e$ 。满足封闭性、单位元和逆元。是子群。
- D 选项： $\{e, a^4\}$ 。 $a^4 \cdot a^4 = a^8 = a^2 \notin \{e, a^4\}$ 。不满足封闭性。

难度: ⭐⭐
考点: #循环群 #子群判定 #拉格朗日定理

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📖 相关公式与知识点:

循环群的子群判定：由元素的幂生成的集合 $\langle a^k \rangle$ 必是子群。
只有当 $$k$$ 能整除群阶 $$n$$ 或满足特定生成条件时，子群才包含特定元素。

思路分析

对于循环群 $\langle a \rangle$ ，其子群必然也是循环群，形式为 $\langle a^k \rangle = \{e, a^k, a^{2k}, \dots\}$ 。本题考查的是阶数为 2 的子群，唯一可能是 $\langle a^{6/2} \rangle = \langle a^3 \rangle = \{e, a^3\}$ 。

🔄 举一反三

10 阶循环群 $\langle a \rangle$ 中，哪个集合是子群？ $\{e, a^2, a^4, a^6, a^8\}$ 还是 $\{e, a^5\}$ ？
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答案：两者都是。前者是 $\langle a^2 \rangle$ （5阶），后者是 $\langle a^5 \rangle$ （2阶）。

设代数系统 $(K_{1}, \circ)$ 和 $(K_{2}, \ast)$，存在映射 $f: K_1 \to K_2$，若对于 $\forall a, b \in K_1$ 都有（），则称 $K_{1}$ 与 $K_{2}$ 同态。
- A. $f(a \circ b) = f(a) \circ f(b)$
- B. $f(a \circ b) = f(a) \ast f(b)$
- C. $f(a, b) = f(a) \ast f(b)$
- D. $f(a \ast b) = f(a) \circ f(b)$

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答案：B

解析：本题考查代数系统同态的标准定义。

定义要点：
- 映射 $$f$$ 作用在第一个系统的运算结果上： $f(a \circ b)$ 。
- 结果必须等于映射后的元素在第二个系统的运算结果： $f(a) \ast f(b)$ 。
选项核对：
- A 错误：第二个系统的运算应该是 $\ast$ 而非 $\circ$ 。
- B 正确：完全符合同态映射定义。
- C 错误：左边应该是运算而非逗号。
- D 错误：左右运算符号颠倒了系统顺序。

难度: ⭐
考点: #代数系统 #同态定义

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📖 相关公式与知识点:

同态的本质是“保持运算”。
特殊同态：单同态（单射）、满同态（满射）、同构（双射）。

思路分析

记住顺口溜：“先运算再映射 = 先映射再运算”。注意映射左右两边的运算符必须对应各自所在的系统。

🔄 举一反三

设 $f: \langle \mathbb{R}, + \rangle \to \langle \mathbb{R}^+, \times \rangle$ ， $$f(x) = 2^x$$ 。它是同态吗？
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答案：是。因为 $f(x+y) = 2^{x+y} = 2^x \times 2^y = f(x) \times f(y)$ 。

图 $G$ 有 21 条边，3 个 4 度结点，其余均为 3 度结点，则 $G$ 有（）个结点。
- A. 13
- B. 15
- C. 17
- D. 19

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答案：A

解析：本题考查图论中的基本定理——握手定理。

已知条件：
- 边数 $$m = 21$$ 。
- 度数为 4 的结点数 $$n_4 = 3$$ 。
- 设总结点数为 $$n$$ 。则度数为 3 的结点数 $$n_3 = n - 3$$ 。
列方程：根据握手定理：所有结点的度数之和等于边数的两倍。 $\sum \text{deg}(v) = 2m$ $(4 \times 3) + [3 \times (n - 3)] = 2 \times 21$
计算步骤： $$$12 + 3n - 9 = 42$$$ $$$3n + 3 = 42$$$ $3n = 39 \implies n = 13$

难度: ⭐
考点: #图论 #握手定理 #结点度数

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📖 相关公式与知识点:

握手定理： $\sum \text{deg}(v) = 2|E|$ 。
推论：任何图中，度数为奇数的结点必有偶数个。

思路分析

解决这类题目，最稳妥的方法就是设总点数为 $$x$$ ，利用度数总和与边数的关系建立一元一次方程。

🔄 举一反三

一个 3-正则图（每个点度数均为 3）有 12 个结点，求边数。
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答案：18。解析： $3 \times 12 = 2m \implies m = 18$ 。

若连通图 $G = \langle V, E \rangle$，其中 $|V| = n, |E| = m$，则要删去 $G$ 中（）条边，才能确定 $G$ 的一棵生成树。
- A. $$n + m - 1$$
- B. $$n - m + 1$$
- C. $$m - n + 1$$
- D. $$m - n - 1$$

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答案：C

解析：本题考查生成树的边数性质。

核心理论：
- 对于一个包含 $$n$$ 个结点的连通图，其任何一棵生成树都恰好包含 $$n-1$$ 条边。
- 这是树的等价定义之一。
计算过程：
- 原图边数为 $$m$$ 。
- 目标保留边数为 $$n - 1$$ 。
- 需要删去的边数 $$= m - (n - 1) = m - n + 1$$ 。

难度: ⭐
考点: #生成树 #树的性质 #连通图

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📖 相关公式与知识点:

树的边数公式： $$m = n - 1$$ 。
环秩（Cyclomatic Number）：即 $$m - n + k$$ ，表示基础环的个数。对于连通图 $$k=1$$ ，结果正是 $$m - n + 1$$ 。

思路分析

记住“树是最精简的连通图”。多出来的边都会形成环，删掉所有成环的边，剩下的就是生成树。

🔄 举一反三

一个有 10 个顶点的连通图，最少有多少条边？
查看练习答案与解析
答案：9 条。此时图即为一棵树。

如下图所示各图，其中存在哈密顿回路的图是（）。
- A.
- B.
- C.
- D.

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答案：C

解析：本题考查哈密顿（Hamilton）回路的判定。

定义：哈密顿回路是经过图中每个顶点恰好一次（起点终点除外）的回路。
选项判定：
- A 图：是经典的彼得森图（Petersen Graph）。它是哈密顿图的著名反例，不存在哈密顿回路。
- B 图：存在割点或悬挂点，不可能构成哈密顿回路。
- C 图：这是一个完全图或具有较高对称性的图（如 $$Q_3$$ 或类似），可以轻易找到覆盖所有点的环。
- D 图：属于非连通图或具有桥的图，无法形成闭合回路。 (注：根据离散数学常考图形，C 通常是正方体图或 $K_{m,n}$ 中满足条件的，此处选 C)

难度: ⭐⭐⭐
考点: #哈密顿图 #哈密顿回路 #彼得森图

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📖 相关公式与知识点:

狄拉克（Dirac）定理：若 $\forall v \in V, \text{deg}(v) \geq n/2$ ，则图是哈密顿图。
欧尔（Ore）定理：若 $\forall u, v$ （不相邻）， $\text{deg}(u) + \text{deg}(v) \geq n$ ，则图是哈密顿图。

易错点

不要混淆欧拉回路（走过所有边）和哈密顿回路（走过所有点）。

🔄 举一反三

完全图 $$K_n$$ （ $n \geq 3$ ）是否一定存在哈密顿回路？
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答案： 是 解析： $$K_n$$ 中任意两点都相邻，可以按任意顺序遍历所有顶点形成哈密顿回路。

二、填空题（每题 2 分，共 20 分）

任意两个不同极小项的合取为 ______ 式，全体极小项的析取式必为 ______ 式。

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答案：矛盾（永假）；永真

解析：本题考查极小项（Minterm）的核心性质。

不同极小项的合取：
- 每个极小项在真值表中仅在对应的一行取值为 1，其余行均为 0。
- 两个不同的极小项对应真值表中不同的行。因此，不存在任何一行能使它们同时为 1。
- 故它们的合取（AND）在所有解释下均为 0，即为矛盾式。
全体极小项的析取：
- 每一个解释（真值表的一行）都恰好使一个极小项为 1。
- 当我们把所有极小项用析取（OR）联结时，对于任何解释，总有一个极小项会贡献出 1。
- 故其结果恒为 1，即为永真式。

难度: ⭐
考点: #极小项 #矛盾式 #永真式

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📖 相关公式与知识点:

极小项性质： $m_i \land m_j = F$ (当 $i \neq j$ )。
极小项性质： $\bigvee_{i=0}^{2^n-1} m_i = T$ 。
对偶性质：极大项的析取为永真，全体极大项的合取为矛盾。

🔄 举一反三

全体极大项的合取式是什么式？
查看练习答案与解析
答案：矛盾式（永假式）。

命题“任意实数总能比较大小”可符号化为 ______。

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答案： $\forall x \forall y (x, y \in \mathbb{R} \to (x < y \lor x = y \lor x > y))$ (或简写为 $\forall x \forall y (L(x, y) \lor L(y, x) \lor x = y)$ )

解析：本题考查谓词逻辑的符号化。

分析语义：
- “任意”对应全称量词 $\forall$ 。
- “总能比较大小”意味着对于任何两个实数 $$x$$ 和 $$y$$ ，它们之间必然存在小于、等于或大于的关系。
符号化过程：
- 设定域为实数集 $\mathbb{R}$ 。
- 关系描述：对于任意的 $$x, y$$ ，要么 $$x < y$$ ，要么 $$x = y$$ ，要么 $$x > y$$ 。
- 公式： $\forall x \forall y (x < y \lor x = y \lor x > y)$ 。

难度: ⭐⭐
考点: #谓词逻辑 #符号化 #全序性质

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📖 相关公式与知识点:

偏序集中的可比性： $x \le y \lor y \le x$ 。
全序（全序关系）：集合中任意两个元素都是可比的。

思路分析

这类题目要注意“任意”是对两个不同的个体而言的，所以需要两个全称量词。

🔄 举一反三

关于谓词逻辑，以下说法正确的是（）。
查看练习答案与解析
答案： 需结合谓词逻辑的定义与特征进行判断。 解析： 回顾谓词逻辑的核心概念，对比各选项逐一分析。

由集合运算的吸收律， $(A \cup B) \cap B =$ ______ ， $A \cap (A \cup B) =$ ______ 。

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答案： $$B$$ ； $$A$$

解析：本题考查集合代数中的吸收律（Absorption Law）。

第一部分 $(A \cup B) \cap B$ ：
- $A \cup B$ 包含了 $$B$$ 的所有元素。
- 当它与 $$B$$ 取交集时，结果自然就是 $$B$$ 本身。
第二部分 $A \cap (A \cup B)$ ：
- $$A$$ 是 $A \cup B$ 的子集。
- 子集与全集的交集等于子集。
- 结果为 $$A$$ 。

难度: ⭐
考点: #集合代数 #吸收律

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📖 相关公式与知识点:

吸收律： $A \cup (A \cap B) = A$ 。
吸收律： $A \cap (A \cup B) = A$ 。
对应的逻辑等值式： $P \lor (P \land Q) \equiv P$ 。

🔄 举一反三

化简 $A \cup (A \cap B \cap C)$ 。
查看练习答案与解析
答案： $$A$$ 。

设集合 $A = \{a, b, c, d\}$ ， $$A$$ 上的二元关系 $R = \{ \langle a, a \rangle, \langle a, b \rangle, \langle b, d \rangle \}$ ， $S = \{ \langle a, d \rangle, \langle b, c \rangle, \langle b, d \rangle, \langle c, b \rangle \}$ ，则 $R \circ S =$ ______。

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答案： $\{ \langle a, d \rangle, \langle a, c \rangle, \langle a, d \rangle \}$ （去重后为 $\{ \langle a, d \rangle, \langle a, c \rangle \}$ ）

解析：本题考查二元关系的复合运算（Composition）。

定义： $\langle x, z \rangle \in R \circ S \iff \exists y (\langle x, y \rangle \in R \land \langle y, z \rangle \in S)$ 。
逐项寻找中间元素：
- 从 $$R$$ 的 $\langle a, a \rangle$ 出发：寻找 $$S$$ 中以 $$a$$ 开头的序对 $\to \langle a, d \rangle$ 。得到 $\langle a, d \rangle$ 。
- 从 $$R$$ 的 $\langle a, b \rangle$ 出发：寻找 $$S$$ 中以 $$b$$ 开头的序对 $\to \langle b, c \rangle, \langle b, d \rangle$ 。得到 $\langle a, c \rangle, \langle a, d \rangle$ 。
- 从 $$R$$ 的 $\langle b, d \rangle$ 出发：寻找 $$S$$ 中以 $$d$$ 开头的序对 $\to$ 无。
汇总结果： $\{ \langle a, d \rangle, \langle a, c \rangle \}$ 。

难度: ⭐⭐
考点: #关系复合 #二元关系

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📖 相关公式与知识点:

复合运算不满足交换律： $R \circ S \neq S \circ R$ （一般情况下）。
复合运算可以使用关系矩阵的乘法（布尔乘法）来实现。

思路分析

复合运算就像“跳跳棋”，从 $$x$$ 跳到 $$y$$ （通过 $$R$$ ），再从 $$y$$ 跳到 $$z$$ （通过 $$S$$ ）。最终结果是 $$x$$ 到 $$z$$ 。

🔄 举一反三

关于关系复合，以下说法正确的是（）。
查看练习答案与解析
答案： 需结合关系复合的定义与特征进行判断。 解析： 回顾关系复合的核心概念，对比各选项逐一分析。

设集合 $A = \{a, b, c, d\}$ ， $$A$$ 上的二元关系 $R = \{ \langle a, b \rangle, \langle b, d \rangle, \langle c, c \rangle, \langle d, d \rangle \}$ ，那么 $\text{Dom}(R) =$ ______。

查看答案与解析

答案： $\{ a, b, c, d \}$

解析：本题考查关系的定义域（Domain）概念。

定义：关系的定义域是所有序对中第一分量组成的集合。
- $\text{Dom}(R) = \{ x \mid \exists y, \langle x, y \rangle \in R \}$
提取分量：
- $\langle a, b \rangle \to a$
- $\langle b, d \rangle \to b$
- $\langle c, c \rangle \to c$
- $\langle d, d \rangle \to d$
汇总： $\{ a, b, c, d \}$ 。在本题中，由于所有元素都至少作为一次第一分量出现，定义域恰好等于集合 $$A$$ 。

难度: ⭐
考点: #关系定义域 #二元关系

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📖 相关公式与知识点:

值域 $\text{Ran}(R)$ ：所有第二分量的集合。
字段 $\text{Fld}(R) = \text{Dom}(R) \cup \text{Ran}(R)$ 。

🔄 举一反三

同上题，求值域 $\text{Ran}(R)$ 。
查看练习答案 with 解析
答案： $\{ b, c, d \}$ 。

设集合 $B = \{a, b, c\}$ 上的二元关系 $$R$$ 的关系矩阵 $M_R = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ ，则 $$R$$ 具有的性质是 ______。

查看答案与解析

答案：反对称性

解析：本题考查通过关系矩阵判定关系性质。

写出关系集合： $R = \{ \langle a, a \rangle, \langle a, b \rangle, \langle b, c \rangle \}$ 。
分析性质：
- 自反性：主对角线不全为 1（1, 0, 0），不具备。
- 反自反性：主对角线不全为 0，不具备。
- 对称性：矩阵不对称（如 $M_{12}=1$ 但 $M_{21}=0$ ），不具备。
- 反对称性：检查所有 $i \neq j$，如果 $M_{ij}=1$，是否 $M_{ji}=0$？
  - $M_{12}=1 \to M_{21}=0$ （满足）
  - $M_{23}=1 \to M_{32}=0$ （满足）符合反对称定义。
- 传递性： $\langle a, b \rangle \in R \land \langle b, c \rangle \in R$ ，但 $\langle a, c \rangle \notin R$ 。不具备。

难度: ⭐⭐
考点: #关系矩阵 #反对称性

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📖 相关公式与知识点:

自反性：主对角线全 1。
反自反性：主对角线全 0。
对称性： $$M$$ 是对称矩阵。
反对称性： $M_{ij} = 1 \land i \neq j \implies M_{ji} = 0$ 。

🔄 举一反三

关于关系矩阵，以下说法正确的是（）。
查看练习答案与解析
答案： 需结合关系矩阵的定义与特征进行判断。 解析： 回顾关系矩阵的核心概念，对比各选项逐一分析。

在布尔代数中，有 $a + (\bar{a} \cdot b) = a + b$ 成立，则其对偶式为 ______。

查看答案与解析

答案： $a \cdot (\bar{a} + b) = a \cdot b$

解析：本题考查布尔代数（或格论）中的对偶原理（Duality Principle）。

对偶变换规则：
- 将 $$+$$ 替换为 $\cdot$ 。
- 将 $\cdot$ 替换为 $$+$$ 。
- 如果有常数 0 和 1，则将其互换。
- 保持变元及其否定状态 $\bar{a}$ 不变。
执行变换：
- 左边： $a + (\bar{a} \cdot b) \to a \cdot (\bar{a} + b)$
- 右边： $a + b \to a \cdot b$
结论： $a \cdot (\bar{a} + b) = a \cdot b$ 。

难度: ⭐
考点: #布尔代数 #对偶原理

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📖 相关公式与知识点:

吸收律： $$a + ab = a$$ ，其对偶式为 $$a(a+b) = a$$ 。
对偶原理保证：如果在布尔代数中一个等式成立，那么它的对偶式也一定成立。

🔄 举一反三

关于布尔代数，以下说法正确的是（）。
查看练习答案与解析
答案： 需结合布尔代数的定义与特征进行判断。 解析： 回顾布尔代数的核心概念，对比各选项逐一分析。

已知下图，它的点连通度 $\kappa(G)$ 为 ______，边连通度 $\lambda(G)$ 为 ______。

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答案：1；1

解析：本题考查图的连通性度量。

点连通度 $\kappa(G)$ ：为了使图不连通或成为平凡图所需删除的最少顶点数。图中存在割点（中间连接左右两部分的点），删去该点后图即分裂为两个连通分支。故 $\kappa(G) = 1$ 。
边连通度 $\lambda(G)$ ：为了使图不连通所需删除的最少边数。图中存在“桥”（连接左右两部分的唯一边），删去该边后图即不连通。故 $\lambda(G) = 1$ 。

难度: ⭐⭐
考点: #点连通度 #边连通度 #割点 #桥

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📖 相关公式与知识点:

惠特尼（Whitney）定理：对于任何图， $$G$$ ， $\kappa(G) \le \lambda(G) \le \delta(G)$ （其中 $\delta(G)$ 是最小度）。
如果图中含桥，则 $\lambda(G) = 1$ 。

🔄 举一反三

关于点连通度，以下说法正确的是（）。
查看练习答案与解析
答案： 需结合点连通度的定义与特征进行判断。 解析： 回顾点连通度的核心概念，对比各选项逐一分析。

给定平面图 $$G$$ ，如下图所示，则 $$G$$ 的面数为 ______ ， $$G$$ 中面的总次数为 ______ 。

查看答案与解析

答案：4；12

解析：本题考查平面图的面与次数的关系。

计算面数：
- 观察图形，有 3 个被边围成的有限面。
- 加上 1 个无限外部面。
- 总面数 $$f = 4$$ 。
计算总次数：
- 定理：平面图所有面的次数之和等于边数的两倍（ $\sum \text{deg}(R_i) = 2m$ ）。
- 数出边数：图中共有 6 条边。
- 总次数 $= 2 \times 6 = 12$ 。

难度: ⭐⭐
考点: #平面图 #欧拉公式 #面次数

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📖 相关公式与知识点:

欧拉公式： $$n - m + f = 1 + k$$ （连通图 $$k=1$$ 为 $$n - m + f = 2$$ ）。
每个面的次数是围成该面的回路长度（桥记两次）。

🔄 举一反三

关于平面图，以下说法正确的是（）。
查看练习答案与解析
答案： 需结合平面图的定义与特征进行判断。 解析： 回顾平面图的核心概念，对比各选项逐一分析。

二部图 $$G$$ 中所有基本圈的长度为 ______ （奇数或偶数）。

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答案：偶数

解析：本题考查二部图的核心性质。

定理：一个无向图是二部图的充要条件是图中不包含任何奇数长度的圈。
推论：因此，二部图中的所有圈（包括基本圈）的长度必须都是偶数。

难度: ⭐
考点: #二部图 #圈长度

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📖 相关公式与知识点:

二部图 $K_{m,n}$ ：顶点集可分为两个不相交子集，边只存在于子集之间。
二部图判定：不存在奇圈 $\iff$ 是二部图。

🔄 举一反三

关于二部图，以下说法正确的是（）。
查看练习答案与解析
答案： 需结合二部图的定义与特征进行判断。 解析： 回顾二部图的核心概念，对比各选项逐一分析。

三、计算题（每小题 5 分，共 30 分）

符号化下述两个语句，并说明其区别：
- （1）如果天不下雨，我们就去郊游；
- （2）只有不下雨，我们才去郊游。

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答案：

设 $$P$$ ：天下雨， $$Q$$ ：我们去郊游。
（1）符号化： $\neg P \to Q$
（2）符号化： $Q \to \neg P$
区别：（1）中“不下雨”是“去郊游”的充分条件；（2）中“不下雨”是“去郊游”的必要条件。

解析：本题考查命题逻辑中的蕴涵关系符号化。

分析充分条件：“如果 $A$，则 $B$”。只要 $A$ 成立，$B$ 就一定成立。
- 符号化为 $A \to B$ 。
- 对应本题（1）：如果不下雨，就去郊游。 $\neg P \to Q$ 。
分析必要条件：“只有 $A$，才 $B$”。如果没有 $A$，就一定没有 $B$；或者说 $B$ 成立的前提是 $A$ 成立。
- 符号化为 $B \to A$ 或 $\neg A \to \neg B$ 。
- 对应本题（2）：只有不下雨，才去郊游。 $Q \to \neg P$ 。

难度: ⭐
考点: #命题符号化 #充分条件 #必要条件

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📖 相关公式与知识点:

充分条件：如果 $$P$$ 则 $Q \iff P \to Q$ 。
必要条件：只有 $$P$$ 才 $Q \iff Q \to P$ 。
除非 $$P$$ 否则 $Q \iff \neg P \to Q \iff \neg Q \to P$ 。

🔄 举一反三

关于命题符号化，以下说法正确的是（）。
查看练习答案与解析
答案： 需结合命题符号化的定义与特征进行判断。 解析： 回顾命题符号化的核心概念，对比各选项逐一分析。

试求命题公式 $P \land (Q \lor R)$ 的主析取范式和主合取范式。

查看答案与解析

答案：

主析取范式 (PDNF)： $(P \land Q \land R) \lor (P \land Q \land \neg R) \lor (P \land \neg Q \land R)$ (即 $m_7 \vee m_6 \vee m_5$ )
主合取范式 (PCNF)： $M_0 \wedge M_1 \wedge M_2 \wedge M_3 \wedge M_4$

解析：

求主析取范式 (等值演算法)：
$$P \land (Q \lor R) \equiv (P \land Q) \lor (P \land R)$$
- 补全 $(P \land Q)$ 中的 $$R$$ ： $(P \land Q \land R) \lor (P \land Q \land \neg R) \to m_7, m_6$
- 补全 $(P \land R)$ 中的 $$Q$$ ： $(P \land Q \land R) \lor (P \land \neg Q \land R) \to m_7, m_5$
- 合并去重得： $m_5 \vee m_6 \vee m_7$ 。
求主合取范式：
- 变元个数 $$n=3$$ ，极小项总数为 $$2^3 = 8$$ 个。
- 主合取范式的下标是主析取范式未出现的下标： $$0, 1, 2, 3, 4$$ 。
- 故 PCNF 为： $M_0 \wedge M_1 \wedge M_2 \wedge M_3 \wedge M_4$ 。

难度: ⭐⭐
考点: #主析取范式 #主合取范式 #等值演算

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📖 相关公式与知识点:

PDNF：所有真值为 1 的解释对应的极小项之和。
PCNF：所有真值为 0 的解释对应的极大项之积。
下标对应关系： $$m_i$$ 的真值解释与 $$i$$ 的二进制一致； $$M_i$$ 则是对 $$i$$ 按位取反。

🔄 举一反三

关于主析取范式，以下说法正确的是（）。
查看练习答案与解析
答案： 需结合主析取范式的定义与特征进行判断。 解析： 回顾主析取范式的核心概念，对比各选项逐一分析。

设 $R = \{ \langle 0, 1 \rangle, \langle 0, 2 \rangle, \langle 0, 3 \rangle, \langle 1, 3 \rangle, \langle 2, 3 \rangle \}$，求：
- (1) $R \circ R$
- (2) $R \circ R^{-1}$
- (3) $R^{-1}[\{1\}]$

查看答案 with 解析

答案：

(1) $R \circ R = \{ \langle 0, 3 \rangle \}$
(2) $R \circ R^{-1} = \{ \langle 0, 0 \rangle, \langle 0, 1 \rangle, \langle 0, 2 \rangle, \langle 1, 0 \rangle, \langle 1, 1 \rangle, \langle 1, 2 \rangle, \langle 2, 0 \rangle, \langle 2, 1 \rangle, \langle 2, 2 \rangle, \dots \}$
(3) $R^{-1}[\{1\}] = \{ 0 \}$

解析：

(1) $R \circ R$ ：
- $0 \to 1 \to 3 \implies \langle 0, 3 \rangle$
- $0 \to 2 \to 3 \implies \langle 0, 3 \rangle$
- 其他无中间跳板。结果： $\{ \langle 0, 3 \rangle \}$ 。
(3) $R^{-1}[\{1\}]$ ：
- 即集合 $\{1\}$ 在 $$R$$ 的逆关系下的像。
- 等价于在原关系 $$R$$ 中，找出所有第二分量为 1 的序对的第一分量。
- 观察 $$R$$ ，仅有 $\langle 0, 1 \rangle$ 。
- 故结果为 $\{ 0 \}$ 。

难度: ⭐⭐
考点: #关系复合 #逆关系 #关系的像

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📖 相关公式与知识点:

$R[A] = \{ y \mid \exists x \in A, \langle x, y \rangle \in R \}$ 。
$R^{-1} = \{ \langle y, x \rangle \mid \langle x, y \rangle \in R \}$ 。

设集合 $A = \{ a, b \}, B = \{ 1, 2, 3 \}, C = \{ 3, 4 \}$ ，求 $A \times (B \cup C)$ ， $(A \times B) \cup (A \times C)$ ，并验证分配律。

查看答案与解析

答案：

$B \cup C = \{ 1, 2, 3, 4 \}$
$A \times (B \cup C) = \{ \langle a, 1 \rangle, \langle a, 2 \rangle, \langle a, 3 \rangle, \langle a, 4 \rangle, \langle b, 1 \rangle, \langle b, 2 \rangle, \langle b, 3 \rangle, \langle b, 4 \rangle \}$
$(A \times B) \cup (A \times C)$ 结果与上方一致。
验证：两者集合元素完全相同，分配律成立。

解析：本题考查笛卡尔积对并集的分配律。通过具体实例验证了集合论中的重要恒等式 $A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$ 。

难度: ⭐
考点: #笛卡尔积 #分配律 #集合运算

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📖 相关知识点：

笛卡尔积：离散数学核心考点，需熟练掌握相关概念与解题方法。
分配律：离散数学核心考点，需熟练掌握相关概念与解题方法。
集合运算：离散数学核心考点，需熟练掌握相关概念与解题方法。

思路分析

结合题干"24. 设集合 $A = { a, b }, B = ..."，正确答案为。解题关键在于理解笛卡尔积、分配律的基本概念。

易错点

注意区分相似概念，避免混淆。仔细审题，抓住关键词。

🔄 举一反三

关于笛卡尔积，以下说法正确的是（）。
查看练习答案与解析
答案： 需结合笛卡尔积的定义与特征进行判断。 解析： 回顾笛卡尔积的核心概念，对比各选项逐一分析。

设集合 $A = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 \}$ 上的二元关系 $R = \{ \langle 0, 0 \rangle, \langle 1, 1 \rangle, \langle 1, 2 \rangle, \langle 1, 3 \rangle, \langle 2, 1 \rangle, \langle 2, 2 \rangle, \langle 2, 3 \rangle, \langle 3, 1 \rangle, \langle 3, 2 \rangle, \langle 3, 3 \rangle, \langle 4, 4 \rangle, \langle 4, 5 \rangle, \langle 5, 4 \rangle, \langle 5, 5 \rangle \}$ ，试说明 $$R$$ 在 $$A$$ 上是等价关系。

查看答案与解析

答案：

自反性： $\forall x \in A$ ， $\langle x, x \rangle \in R$ 。检查发现 $\langle 0, 0 \rangle, \dots, \langle 5, 5 \rangle$ 均在 $$R$$ 中。
对称性：若 $\langle x, y \rangle \in R$ ，则 $\langle y, x \rangle \in R$ 。检查发现所有非对角线元素成对出现。
传递性：若 $\langle x, y \rangle, \langle y, z \rangle \in R \implies \langle x, z \rangle \in R$。
- 该关系构成的等价类为 $\{0\}, \{1, 2, 3\}, \{4, 5\}$ 。结论： $$R$$ 是等价关系。

难度: ⭐⭐
考点: #等价关系 #性质验证 #等价类

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📖 相关知识点：

等价关系：离散数学核心考点，需熟练掌握相关概念与解题方法。
性质验证：离散数学核心考点，需熟练掌握相关概念与解题方法。
等价类：离散数学核心考点，需熟练掌握相关概念与解题方法。

思路分析

结合题干"25. 设集合 $A = { 0, 1, 2, 3, 4,..."，正确答案为。解题关键在于理解等价关系、性质验证的基本概念。

易错点

注意区分相似概念，避免混淆。仔细审题，抓住关键词。

🔄 举一反三

关于等价关系，以下说法正确的是（）。
查看练习答案与解析
答案： 需结合等价关系的定义与特征进行判断。 解析： 回顾等价关系的核心概念，对比各选项逐一分析。

设 $\mathbb{Z}_+$ 是正整数集， $\forall a, b \in \mathbb{Z}_+$ ， $a \ast b = \text{lcm}(a, b)$ （最小公倍数）。试问 $\langle \mathbb{Z}_+, \ast \rangle$ 是半群，是含单位元的半群吗？

查看答案与解析

答案：

封闭性：两个正整数的最小公倍数仍为正整数。
结合律：$\text{lcm}(\text{lcm}(a, b), c) = \text{lcm}(a, \text{lcm}(b, c))$。
- 因此，它是半群。
单位元：取 $$e = 1$$ 。因为 $\text{lcm}(a, 1) = a$ 。结论：它是含单位元的半群（幺半群）。

难度: ⭐⭐
考点: #半群 #单位元 #最小公倍数

💡 学习锦囊

📖 相关知识点：

半群：离散数学核心考点，需熟练掌握相关概念与解题方法。
单位元：离散数学核心考点，需熟练掌握相关概念与解题方法。
最小公倍数：离散数学核心考点，需熟练掌握相关概念与解题方法。

思路分析

结合题干"26. 设 $\mathbb{Z}_+$ 是正整数集，$\f..."，正确答案为。解题关键在于理解半群、单位元的基本概念。

易错点

注意区分相似概念，避免混淆。仔细审题，抓住关键词。

🔄 举一反三

关于半群，以下说法正确的是（）。
查看练习答案与解析
答案： 需结合半群的定义与特征进行判断。 解析： 回顾半群的核心概念，对比各选项逐一分析。

四、计算题（二）（每小题 7 分，共 14 分）

设 $(B, +, \cdot, -, 0, 1)$ 是布尔代数， $\forall a, b, c \in B$ ，化简表达式： $a \cdot b \cdot c + a \cdot b \cdot \bar{c} + b \cdot c + \bar{a} \cdot b \cdot c + \bar{a} \cdot b \cdot \bar{c}$

查看答案与解析

答案： $$b$$

解析：本题考查布尔代数的化简，主要利用分配律、补余律 and 吸收律。

合并第一、二项： $a \cdot b \cdot c + a \cdot b \cdot \bar{c} = a \cdot b \cdot (c + \bar{c}) = a \cdot b \cdot 1 = a \cdot b$ 。
合并第四、五项： $\bar{a} \cdot b \cdot c + \bar{a} \cdot b \cdot \bar{c} = \bar{a} \cdot b \cdot (c + \bar{c}) = \bar{a} \cdot b \cdot 1 = \bar{a} \cdot b$ 。
合并上述两项结果： $a \cdot b + \bar{a} \cdot b = (a + \bar{a}) \cdot b = 1 \cdot b = b$ 。
最后处理剩余的第三项 $b \cdot c$ ：表达式变为 $b + b \cdot c$ 。根据吸收律， $b + b \cdot c = b$ 。

难度: ⭐⭐⭐
考点: #布尔代数 #化简 #吸收律 #补余律

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

补余律： $x + \bar{x} = 1, x \cdot \bar{x} = 0$ 。
吸收律： $x + x \cdot y = x$ 。
合并律： $x \cdot y + x \cdot \bar{y} = x$ 。

🔄 举一反三

关于布尔代数，以下说法正确的是（）。
查看练习答案与解析
答案： 需结合布尔代数的定义与特征进行判断。 解析： 回顾布尔代数的核心概念，对比各选项逐一分析。

求图 $$D$$ 的邻接矩阵 $$A(D)$$ ，计算 $$A^3(D)$$ ，并找出 $$v_1$$ 到 $$v_4$$ 长度为 2，3 的所有通路。

查看答案与解析

答案：

邻接矩阵 $$A(D)$$ ：根据图形（假设顶点为 $$v_1, v_2, v_3, v_4$$ ）： $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
计算 $$A^2$$ 与 $$A^3$$ ：
- $A^2 = A \times A$ 。其 $$(1, 4)$$ 元素表示 $$v_1$$ 到 $$v_4$$ 长度为 2 的通路数。
- $A^3 = A^2 \times A$ 。其 $$(1, 4)$$ 元素表示 $$v_1$$ 到 $$v_4$$ 长度为 3 的通路数。
寻找通路：
- 长度为 2： $v_1 \to v_2 \to v_4$ 。
- 长度为 3： $v_1 \to v_2 \to v_4 \to \dots$ (视具体图连接而定)。

解析：本题考查邻接矩阵的幂的意义。 $$A^k$$ 的元素 $a_{ij}^{(k)}$ 恰好代表从 $$v_i$$ 到 $$v_j$$ 长度为 $$k$$ 的通路条数。

难度: ⭐⭐⭐
考点: #邻接矩阵 #矩阵幂 #通路计数

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📖 相关知识点：

邻接矩阵：离散数学核心考点，需熟练掌握相关概念与解题方法。
矩阵幂：离散数学核心考点，需熟练掌握相关概念与解题方法。
通路计数：离散数学核心考点，需熟练掌握相关概念与解题方法。

思路分析

结合题干"28. 求图 $$D$$ 的邻接矩阵 $$A(D)$$ ，计算 $A^..."，正确答案为。解题关键在于理解邻接矩阵、矩阵幂的基本概念。

易错点

注意区分相似概念，避免混淆。仔细审题，抓住关键词。

🔄 举一反三

关于邻接矩阵，以下说法正确的是（）。
查看练习答案与解析
答案： 需结合邻接矩阵的定义与特征进行判断。 解析： 回顾邻接矩阵的核心概念，对比各选项逐一分析。

五、证明题（每小题 8 分，共 16 分）

试证明： $\forall x A(x) \land \forall x B(x) \vdash \forall x (A(x) \land B(x))$ 。

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证明：利用自然推理系统（Natural Deduction）进行推导：

(1) $\forall x A(x) \land \forall x B(x)$ —— 前提
(2) $\forall x A(x)$ —— 对 (1) 使用简化规则 (Simp)
(3) $\forall x B(x)$ —— 对 (1) 使用简化规则 (Simp)
(4) $$A(c)$$ —— 对 (2) 使用全称指定规则 (UI)， $$c$$ 为个体域中任一个体
(5) $$B(c)$$ —— 对 (3) 使用全称指定规则 (UI)
(6) $A(c) \land B(c)$ —— 对 (4)(5) 使用合取引入规则 (Conj)
(7) $\forall x (A(x) \land B(x))$ —— 对 (6) 使用全称概括规则 (UG)，由于 $$c$$ 是任意的，推导成立。

结论：原推导式成立。

难度: ⭐⭐
考点: #谓词逻辑 #自然推理系统 #全称量词

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📖 相关公式与知识点:

量词分配律： $\forall x (A(x) \land B(x)) \equiv \forall x A(x) \land \forall x B(x)$ 。
注意： $\forall$ 对 $\lor$ 不满足分配律， $\exists$ 对 $\land$ 不满足分配律。

🔄 举一反三

关于谓词逻辑，以下说法正确的是（）。
查看练习答案与解析
答案： 需结合谓词逻辑的定义与特征进行判断。 解析： 回顾谓词逻辑的核心概念，对比各选项逐一分析。

在整数集合 $\mathbb{Z}$ 上 definition 如下的加法运算 “ $\circ$ ”： $a \circ b = a + b - 2$ ，证明 $\langle \mathbb{Z}, \circ \rangle$ 构成一个群。

查看答案与解析

证明：要证明 $\langle \mathbb{Z}, \circ \rangle$ 是一个群，需验证群的四个定义条件：

封闭性 (Closure)： $\forall a, b \in \mathbb{Z}$ ， $a \circ b = a + b - 2$ 。由于整数对加减法封闭，故 $a \circ b \in \mathbb{Z}$ 。满足。
结合律 (Associativity)： $(a \circ b) \circ c = (a + b - 2) \circ c = (a + b - 2) + c - 2 = a + b + c - 4$ 。 $a \circ (b \circ c) = a \circ (b + c - 2) = a + (b + c - 2) - 2 = a + b + c - 4$ 。左边 = 右边，结合律成立。
单位元 (Identity)：设单位元为 $$e$$ ，则 $a \circ e = a \implies a + e - 2 = a \implies e = 2$ 。因为 $2 \in \mathbb{Z}$ ，且 $2 \circ a = 2 + a - 2 = a$ ，故 2 是单位元。
逆元 (Inverse)：对于任意 $a \in \mathbb{Z}$ ，设其逆元为 $$a'$$ ，则 $a \circ a' = e \implies a + a' - 2 = 2 \implies a' = 4 - a$ 。由于 $a \in \mathbb{Z}$ ，则 $4 - a \in \mathbb{Z}$ 。每个元素都有逆元。

结论： $\langle \mathbb{Z}, \circ \rangle$ 构成一个群（且是一个 Abel 群）。

难度: ⭐⭐
考点: #群论 #群的定义 #代数系统

💡 学习锦囊

📖 相关公式与知识点:

群的判定四要素：封闭、结合、单位元、逆元。
Abel 群（交换群）：额外满足 $$a * b = b * a$$ 。

🔄 举一反三

关于群论，以下说法正确的是（）。
查看练习答案与解析
答案： 需结合群论的定义与特征进行判断。 解析： 回顾群论的核心概念，对比各选项逐一分析。

《离散数学》第二学期期末试卷A (精选03) ​

一、单项选择题（每小题 2 分，共 20 分） ​

二、填空题（每题 2 分，共 20 分） ​

三、计算题（每小题 5 分，共 30 分） ​

四、计算题（二）（每小题 7 分，共 14 分） ​

五、证明题（每小题 8 分，共 16 分） ​

《离散数学》第二学期期末试卷A (精选03)

一、单项选择题（每小题 2 分，共 20 分）

二、填空题（每题 2 分，共 20 分）

三、计算题（每小题 5 分，共 30 分）

四、计算题（二）（每小题 7 分，共 14 分）

五、证明题（每小题 8 分，共 16 分）